|
Рассмотрим в виде примера случай
портальной рамы с вертикальными подкосами при равномерной нагрузке. Примем
следующие обозначения:
g— высота точки пересечения средних линий над хордой
опорных шарниров; Zo — стрела средней линии ригеля; ha и h t — высота ригеля
в сечении заделки и
в середине пролета; AQ И h\ — ширина стойки в уровне
шарнира и вверху (в теоретическом сечении на высоте g);
Моменты в портальной раме зависят только от одной
неизвестной —
распора Q, который в свою очередь зависит от соотношения
двух факторов
Числитель зависит только от геометрической формы ригеля.
Знаменатель зависит от формы ригеля и подкосов.
Допустим, что внутренняя поверхность ригеля очерчена по
параболе, а наружная горизонтальна и что профиль ригеля симметричен (средняя
линия проходит в середине высоты h). Примем, что наружная и внутренняя грани
подкоса прямолинейны.
Таким образом, для любого значения k можно определить
среднюю величину момента инерции. Однако, произведя эти вычисления, мы
убеждаемся также, что если за среднюю величину момента инерции стойки принять
момент инерции сечения, находящегося на высоте 0,68 g от шарнира, то ошибка будет весьма мала1, а именно, менее 4% для закона изменения (h'f1 и
менее 7% для закона (Л')3- Кроме того, эта ошибка касается только одного
члена знаменателя и ее влияние на величину Q будет еще меньше.
Эта формула дает значение Q с хорошей степенью приближения.
Можно ею пользоваться для отыскания пропорций, которые
следует придать портальной раме; однако можно эти поиски геометрических форм
упростить, пренебрегая в вышеприведенной формуле членами, влияние которых
незначительно.
Этот предварительный подсчет не избавляет от выполнения
точных расчетов, когда геометрические формы установлены. Можно также,
пользуясь графиком 111.32, скорректировать результаты при помощи формулы
har~h* = (\ — hl2\ . Можно принять для коэффициента — среднее значение. Мы
приняли — =0,25. £ ё При этих условиях получаем -MtrK(-tK(-t)]
При /=27 Л£ и £=5,39 м получаем Q=12,8 р (р —
в тоннах на 1 пог. м). В параграфе 5 величина Q была приблизительно оценена
равной 12,05 р. Реальный распор Q= 12,65р. Как видно, порядок величин
получается приемлемый. Это, повторяем, не избавляет от необходимости
окончательных расчетов. Нашей целью было показать, каким образом можно
произвести исследование геометрических форм, приведя их в зависимость от
простых параметров.
Лучшее решение получается, если для изостатических линий
принять гиперболы одного семейства, ассимптотами которых являются две стороны
наружного угла рамы.
Ограничимся рассмотрением случая, когда наружные грани
угла рамы образуют прямой угол (верх ригеля горизонтален, наружная грань стойки
вертикальна), причем форма угла симметрична по отношению к биссектрисе
прямого угла. Можно взять для семейства изостатических линий («изостаты 1»)
равносторонние гиперболы. Если принять за начало координат вершину угла, а за
ось О У — биссектрису угла, то уравнения этих гипербол будут У2—Х2 = а2, где
а — постоянная величина для каждой гиперболы, равная расстоянию от начала
координат О до точки пересечения этой гиперболы с биссектрисой угла.
В данном случае можно предположить, что поперечные
сечения, которые должны заменить обычные плоские сечения, перпендикулярны от
отношению к указанным гиперболам и сохраняют неизменную форму.
Эти перпендикулярные траектории образуют второе семейство
гипербол Рис- IIL33* Изостаты напряжений в углу рамы
XY = А2, где k — постоянная величина для каждой из этих
гипербол, равная расстоянию от начала координат О до точки пересечения
гиперболы с одной из сторон наружного угла. Мы назовем это второе семейство —
«изостаты 2».
Расстояние между изостатами 2, считая по какой-либо изостате
1, не постоянно, так как они не параллельны: это расстояние / является
функцией У и в интересующей нас зоне приблизительно равно разнице между
значениями X.
С другой стороны, производная А / от /, представляющая
разницу между положениями изостатических линий k и k+dk, может
рассматриваться как линейная функция У вида A + BY. Из этого вытекает, что напряжение
п=Е — пропорционально величине Таким образом, можно написать: n=(C+DY)Yr где
С и D — две постоянные величины.
Следовательно, напряжение подчиняется параболическому
закону и в углу (при У=0) оно равно нулю.
Мы ограничимся исследованием закона изменения напряжений
для точек, расположенных по биссектрисе.
Обозначим: Ь — ширину сечения; h — высоту ОЛ, считая по
биссектрисе; N — нормальное усилие (являющееся нормальной составляющей усилия
F+Q или F+V, передаваемого по равнодействующей линии давления, причем оба эти
усилия в случае симметричной формьв угла приблизительно одинаковы); и —
расстояние от вершины угла до, точки прохождения равнодействующей линии
давления.
Можно убедиться, что когда и превышает —, максимальное
напряжение сжатия значительно больше, чем получаемое по закону Навье. В
большинстве случаев это не вызывает затруднений, так как высота h обычно
больше высоты сечений ригеля и стойки.
Затруднения могли бы, наоборот, возникнуть при, т. е. в
случае, когда равнодействующие линии давления проходят высоко в сечении, что
в легких портальных рамах может иметь место для линии давления в
ненагруженном состоянии (под действием постоянной нагрузки и предварительного
напряжения).
Закон Навье привел бы к значительно более слабым
растягивающим- напряжениям, чем получаемые по вышеприведенному методу. При и изостатические
линии в значительно меньшей степени представляют собой реальные
изостатические линии, когда линия давления проходит высоко в сечении, чем
когда она проходит низко; по всей (вероятности, теория в данном случае дает
завышенные результаты. Тем более полезно, особенно в легких портальных рамах,
предусматривать ненапрягае- мую арматуру вблизи внутреннего угла,
перпендикулярную биссектрисе, как, впрочем, это обычно принято в
железобетонных сооружениях.
Добавим к сказанному, что если за изостатические линии (1)
принять гиперболы не равносторонние, У2—тХ2=а21 перпендикулярными
траекториями к которым являются кривые XYm то можно получить систему
изостатических линий для рам с внешними углами, не равными прямому. Тангенс
половины угла асимптот равен 7—получаются острые углы, а при т< 1 — тупые.
Можно установить также, что расхождение с законом Навье увеличивается при
уменьшении угла и что упомянутые выше растягивающие напряжения при высоком
положении линий давления возрастают.
|