ВЗАИМНОСТИ РАБОТ ПРИНЦИП (теорема Бетти)

— одно из основных и важнейших энергетических свойств линейно деформируемого тела. Когда к телу прикладываются две независимые системы внешних сил А и Л, то суммарная работа внешних или внутренних сил состояния А на перемещениях, вызванных действием сил состояния В, равна суммарной работе внешних или внутренних сил состояния В на перемещениях, вызванных действием сил состояния А. В более общем случае в состоянии В задаются также взаимные удаления, смещения или повороты смежных сечений, а в категорию внешних сил состояния А вводятся соответствующие силы взаимодействия смежных частей тела (напр., продольная или поперечная сила, или изгибающий момент).

Из принципа взаимности работ вытекают свойства: взаимности перемещений взаимности реакций; взаимности реакций и перемещений      Здесь — перемещение и реакция от единичного статического (кинематического) воздействия; первый индекс всюду указывает на направление определяемого перемещения или реакции, второй — на направление заданного воздействия (см. Взаимности перемещений принцип). Из отмеченных свойств следует симметрия матриц коэффициентов канонич. уравнений метода сил и метода перемещений, а также и антисимметрия побочных элементов матрицы коэффициентов канонических уравнений смешанного метода А. А. Гвоздева. Симметрия матрицы функций влияния метода начальных параметров также является следствием принципа взаимности работ.

Приложения принципа взаимности работ (или его следствий) в строит, механике весьма разнообразны, так как В. р. п. позволяет, имея решение некоторой задачи, одновременно сформулировать решение другой («взаимной») задачи. Напр., очертание оси изогнутого стержня, поверхности изогнутой пластинки или искривленной поверхности упругого слоя от нек-рого заданного перемещения или усилия тождественно с очертанием линии или поверхности влияния для соответствующего усилия или перемещения (на этом основан кинематический метод построения линий влияния); ядро сечения при внецентренном сжатии есть область, в к-рой может располагаться центр давления, если все сечение сжато, и в то же время область, в к-рой возникает только сжатие при любом расположении центра давления в пределах сечения и т. п.

Обобщение принципа взаимности работ на динамические задачи также дано Бетти; приложение к динамике стержневых систем разработано Н. И. Безуховым.

Лит.: Рабинович И. М., Курс строительной механики стержневых систем, 2 изд., ч. 2, М., 1954; Б е з у х о в Н. И., Некоторые обобщения методов строительной механики в динамике сооружений, в кн.: Исследования по теории сооружений, сб. 3, М.—JI., 1939; У м а н с к и й А.А , Специальный курс строительной механики, ч. 1, М.—Л., 1935; Власов В. 3., Строительная механика тонкостенных пространственных систем, М., 1949.