При всей противоречивости пифагореизма (а может быть, благодаря ей) пифагорейская школа внесла величайший вклад в развитие кон­кретно-научного познания. Прежде всего это касается математики. Основные направления математических исследований раннего Пи­фагорейского союза:

·        доказательства тех положений, которые были получены в еги­петской и вавилонской математике (включая и «теорему Пифа­гора»);

·        разработка теории пропорций, музыкальной теории (важней­шие гармонические интервалы могут быть получены при помо­щи отношений чисел 1, 2, 3 и 4);

·        разработка теории чисел.

В теории чисел пифагорейцами была проведена большая работа типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись класс совершенных чисел (число, равное сумме своих собственных делителей, например, 6=1+2+3), класс дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284; ведь 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 и 1+2 + 4 + 71 + 142 = 220), класс фигурных (треугольное число, квадратное число и т.д.) чисел, простых и др.

В эту эпоху стали также известны формулы суммирования простейших арифметических прогрессий и результатов, в современном математическом языке выражающиеся формулой типа

к=1

Рассматривались также вопросы делимости чисел. Введены арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции, а также различные средние: арифметическое, геометрическое, гармоническое.

Наряду с геометрическим доказательством теоремы Пифагора (найден способ отыскания неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т.е. чисел, удовлетворяющих соотношению А²+В² = С². Было открыто много математических закономерностей теории музыки, совершенствовались приемы геометрического доказательства и т.д.

Важнейшим событием в истории пифагореизма (уже после смерти Пифагора) было открытие несоизмеримости диагонали и стороны квадрата, равной единице (современным математическим языком √2). Это открытие имело не только чисто научное, математическое, но и большое мировоззренческое значение. Философский смысл его состоял в крахе общей идеи гармоничности, цельности, стройности, пропорциональности, измеримости, организованности Космоса. Под сомнением оказалась сама идея о том, что «мир есть число». В пифагорейском союзе царила растерянность, назревал скандал. Известна легенда о том, что члены Союза пытались замалчивать это открытие, не предавать его гласности. Открытие несоизмеримости стало поворотным пунктом в истории математики и по своему значению может быть сопоставлено с открытием неевклидовой геометрии в XIX в.

Для решения проблемы несоизмеримости надо было иметь четкое представление о следующих вещах: является ли неограниченной продолжительность процесса нахождения общей меры; как выразить бесконечную малость последней; как выразить то, что она должна содержаться бесконечное число раз в сравниваемых величинах.

Теоретически были возможны два выхода. Первый связан с обоб­щением понятия числа и включением в него более широкого класса математических величин (как рациональных, так и иррациональ­ных). По этому пути математика пойдет много позже, в эпоху Возрож­дения.

Второй путь — геометризация математики, т.е. решение чисто алгебраических задач с использованием геометрических образов (геометрическая алгебра позволяет выражать как рациональные, так и иррациональные отрезки). Поскольку совокупность геометричес­ких величин (например, отрезков) более полна, чем множество раци­ональных чисел, постольку такое исчисление можно построить в геометрической форме. Так возникла геометрическая алгебра. На­пример, уравнение X² = 2 не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно вполне разреши­мо в области прямолинейных отрезков: его решением является диагональ квадрата со стороной, равной единице. Следовательно, для того чтобы получить решение такого квадратного уравнения, из об­ласти чисел надлежит перейти в область геометрических величин. Геометрическая алгебра приложима не только к соизмеримым, но и к несоизмеримым отрезкам и тем не менее является точной наукой.

Первичные элементы геометрической алгебры — отрезки пря­мой. По отношению к ним определялись арифметические вычисли­тельные операции. Сложение интерпретировалось как приставле­ние отрезков, вычитание — как отбрасывание от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Умножение отрезков приводило к по­строению площадей (произведением отрезков А и В считался прямо­угольник со сторонами А и В). Произведение трех отрезков давало параллелепипед. Произведение большого числа сомножителей в гео­метрической алгебре не могло рассматриваться. Деление было воз­можно лишь при условии, что размерность делимого больше размер­ности делителя и выступало как задача приложения площадей.

Методы геометрической алгебры имели принципиальные огра­ниченности: они позволяли определить только один, положитель­ный корень квадратного уравнения; средствами построения были циркуль и линейка; объектами построения были геометрические об­разы размерности не выше второй; уравнения степени выше третьей в геометрической алгебре древних просто невозможны.

Недостаточность геометрической алгебры как общей математи­ческой теории несоизмеримых величин проявилась при выделении класса задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линей­ки. Среди них наиболее известны задачи удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Попытки их разрешения привели в дальней­шем к появлению и усовершенствованию новых перспективных ма­тематических методов. Так, был разработан метод конических сече­ний, метод исчерпывания (как предпосылки метода пределов), разработаны основы общей теории отношений, приложимой как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин.

Значительны и астрономические идеи пифагорейцев. Есть сведения о том, что еще Пифагор высказал идею шарообразности Земли *. Пифагорейцы первыми в Древней Греции научились распознавать в небесном своде планеты, отличать их от звезд (в то время распознавали лишь пять планет). Им же принадлежит идея гармонии «небесных сфер». Представители пифагорейской школы сформулировали идею гелиоцентризма, которую впоследствии развивал Аристарх Самосский.

Всемирно-историческая заслуга пифагореизма — в осмыслении и утверждении категории количества. Мир не является многообразием качественно различных предметов, вещей, за таким качественным многообразием лежит количественное единство вещей. Каждая вещь и ее свойства имеют определенную меру, степень роста, изменчивости, насыщенности своих качеств. Мера изменчивости определенного качества и есть его количество. Каждая определенная вещь есть некоторое единство качества и количества. Нельзя постичь вещь в ее сущности и в ее целостности без выявления количественных характеристик вещи, а они постигаются математикой.

Пифагорейцы заложили основы такого представления о мире и его познании, в соответствии с которым математические знания (о числах и их отношениях) являются важнейшим условием, ключом к познанию природы. Начиная с Пифагора в истории культуры развивается установка на широкое развитие математических исследований. Обратим внимание еще на одну особенность пифагореизма. По сути, из ложной посылки, что основа мира есть число, вытекает очень разумный и плодотворный вывод: математика есть средство познания устройства мира. И это далеко не единственный пример того, когда из ложных общих идейных философских посылок следуют плодотворные и истинные научные программы.