Учебники для вузов |
Экология и безопасность жизнедеятельностиРаздел: Экономика |
Рассмотрим теперь модель, учитывающую случайные изменения среды. Простейшая модель, соответствующая уравнению (10.1), имеет вид
(10.15)
N(0)=N0, (10.16)
где y(t) – случайная величина со средним значением, равным нулю. Решение задачи (уравнения (10.15) при условии (10.16)) имеет вид
. (10.17)
. (10.18)
Численные параметры т и σ – это математическое ожидание (среднее значение) и среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Действительно,
Применяя замену переменной , получаем
(10.19)
Нетрудно убедиться, что первый из двух интегралов в уравнении (10.19) равен нулю, а второй представляет собой известный интеграл Эйлера–Пуассона
, (10.20)
поэтому из уравнения (10.19) вытекает, что М[Х]=т. Вычислим дисперсию величины X:
Применив снова замену переменной получим
(10.21)
Интегрируем это выражение по частям:
(10.22)
Следовательно, σ в выражении (10.18) равна корню из дисперсии, т. e. среднему квадратичному отклонению. Итак,
Е[уi]=т, D[yi]=var(yi)=σ2. (10.23)
Покажем, что если т= , то Е. Действительно,
Применив снова замену х = , получим
(10.24)
Вернемся к формуле (10.17), которая в наших предположениях имеет вид
, (10.25)
откуда для среднего значения N(t) получаем выражение
, (10.26)
а для дисперсии D[N] = var(N) –
(10.27)
(10.28)
Следовательно,
(10.29)
и коэффициент вариации при t → ∞ равен
. (10.30)
Из формул (10.26) и (10.30) следует, что хотя, как и в детерминистском случае, среднее значение N(t) экспоненциально возрастает, экспоненциально возрастают и отклонения от среднего значения. Таким образом, с течением времени колебания численности популяции становятся все более резкими. В этом отражается то обстоятельство, что детерминистская система не имеет стационарного состояния, более того, при определенных соотношениях между а и σ вероятность ее вымирания приближается к единице.
Найдем вероятность вымирания популяции за время t – функцию p0(t):
Положим, тогда уt, имеет нормальное распределение, причем , vaz(yt)=tσ2. Следовательно,
Полагая , имеем
(10.31)
где Ф(х) = – так называемый интеграл ошибок.
Если >0, т. e. σ2>2a, то → ∞ при t→ ∞, следовательно,
Проведенный анализ показывает, что преимущественное использование детерминистских, а не стохастических моделей оправдано лишь тем, что в математическом плане они проще и удобнее. При этом если детерминистская модель свидетельствует об устойчивом равновесии, то соответствующая стохастическая модель предсказывает длительное выживание; если же детерминистская модель не выявляет равновесия или предсказывает неустойчивое равновесие, то стохастическая модель может предсказать вероятность вымирания.
К содержанию книги: Экология и безопасность жизнедеятельности
Смотрите также:
Экологическое право. Вопросы и аспекты "Экологическое право. Право окружающей среды" "Экологическое право" "Экологическое право"
Цены и ценообразование Цены и ценообразование "Финансовое право" "Хозяйственное право"
ЭКОЛОГИЯ — наука, изучающая условия существования живых организмов ...
Впервые термин «экология» был использован нем.
биологом Э. Геккелем в 1866 г., однако наиболее активное развитие Э. началось
лишь в 30-х гг. 20 в. ... |
Экономические основы решения экологического, сырьевого и ...
На уже функционирующие международные и региональные экологические
организации ... Экология в последнее время стала постоянным объектом. ... |
Влияние урбанизированной жилой среды на условия проживания и ...
Рассмотрение экологических проблем с современных
позиций позволяет утверждать, что ухудшение окружающей природной среды не
является... |
Оценка общей экономической ценности природных территорий
Экологические системы и особо охраняемые природные
территории .... с определением хозяйственной и экологической ценности
природных ресурсов. ... |