|
Учебники для вузов |
Экология и безопасность жизнедеятельностиРаздел: Экономика |
9.3. Простейшая модель эпидемии
За многие годы существования человечества огромное число людей погибло от разных эпидемий. Для того чтобы уметь бороться с эпидемиями, т. е. своевременно проводить тот или иной комплекс мероприятий (прививки, вакцины, карантин и т.д.), необходимо уметь оценить эффективность каждого такого комплекса и выбрать наиболее оптимальный для данного вида эпидемии (холера, чума, грипп, СПИД и т.д.). Оценка эффективности базируется, как правило, на прогнозе о протекании эпидемии. Отсюда вытекает задача построения модели, которая могла бы служить целям прогноза. Самой простой моделью является описание естественного хода эпидемии без применения каких-либо профилактических мероприятий.
Итак, пусть имеется N здоровых людей, и в момент времени t = 0 в эту группу попадает один заболевший человек (источник инфекции). Предположим, что удаления заболевших из группы не происходит и человек становится источником инфекции сразу же, как заразился сам.
Обозначим через x(t) число источников инфекции в момент времени t, а через y(t) – число еще не заболевших (часть из них, естественно, может заболеть с течением времени). Очевидно, что х(t) + y(t) = N +1 в любой момент времени t, причем при t = 0 выполняется условие х(0) = 1. Рассмотрим интервал времени t, t +∆ t, где ∆ t достаточно мало. Естественно, что число больных ∆х, появившихся за этот интервал, пропорционально ∆t(∆x≈∆t). Естественно также предположить, что это число пропорционально числу контактов между больными и здоровыми, т.е. произведению x(t)y(t). Таким образом, ∆x≈αx(t)y(t)dt, где α – коэффициент пропорциональности. Устремляя ∆t к нулю из последнего соотношения, получим дифференциальное уравнение
=αx(t)(N+1-x(t)), (9.14)
которое вместе с начальным условием
х(0)=1 (9.15)
определяет функцию x(t). Уравнение (9.14) по виду является логистическим, оно рассмотрено в предыдущем параграфе. Поэтому сразу можно записать решение x(t) задачи Коши (9.14), (9.15) в удобном виде
, t 
0. (9.16)
Итак, число заболевших – функция времени. Проанализируем эту
функцию. Из уравнения (9.16) вытекает, что с течением времени число
заболевших может только увеличиваться, а все здоровые люди заболеют, так как 
=N+1.
Конечно, это грубая модель, не учитывающая естественного иммунитета у здоровых
людей к данному заболеванию.
Интересно выяснить, как меняется скорость увеличения числа больных, т. е. величина
, t
0 (9.17)
Для решения этого вопроса нужно изучить величину 
.
Дифференцируя уравнение (9.17), получаем
, t
0. (9.18)
Из этого уравнения вытекает, что при > 0 при t 
и <
0 при
t 
. Следовательно,
скорость возрастания заболевших – функция – растет до момента t 
, а затем убывает. Несмотря на
грубость модели, этот результат совпадает с экспериментальными данными: в
начале эпидемии число заболевших резко возрастает, а впоследствии скорость
распространения инфекции снижается.
Для сравнения приведем результаты использования более сложных моделей развития гриппозной эпидемии в Москве [22], где население составляет 8,5 млн человек. Это позволит нам также определить численные значения параметров N и α, при которых наша модель более реалистична.
Началу эпидемии соответствует число заболевших 79,1 тыс.
человек, откуда N = 8,5 млн./79,1 тыс. ≈1100 человек. Пик
заболеваемости приходится на 46-й день, т. е. 46
,
откуда 
. По формуле (9.16) находим
число больных 
. По отношению к 1100
чел. это составляет 11%, что согласуется с экспериментальными данными [22], где
число больных равно 981 тыс. человек и составляет 11,5%. Конечно, применение
соответствующих профилактических мер дает значительный положительный эффект,
пик числа больных снижается с 981тыс. до 122 тыс. человек, однако создание
соответствующей математической модели – существенно более трудная задача.
К содержанию книги: Экология и безопасность жизнедеятельности
Смотрите также:
Экологическое право. Вопросы и аспекты "Экологическое право. Право окружающей среды" "Экологическое право" "Экологическое право"
Цены и ценообразование Цены и ценообразование "Финансовое право" "Хозяйственное право"
ЭКОЛОГИЯ — наука, изучающая условия существования живых организмов ...
|
Впервые термин «экология» был использован нем. биологом
Э. Геккелем в 1866 г., однако наиболее активное развитие Э. началось лишь в
30-х гг. 20 в. ... |
Экономические основы решения экологического, сырьевого и ...
|
На уже функционирующие международные и региональные
экологические организации ... Экология в последнее время стала постоянным
объектом. ... |
Влияние урбанизированной жилой среды на условия проживания и ...
|
Рассмотрение экологических проблем с современных
позиций позволяет утверждать, что ухудшение окружающей природной среды не
является... |
Оценка общей экономической ценности природных территорий
|
Экологические системы и особо охраняемые природные территории
.... с определением хозяйственной и экологической ценности природных
ресурсов. ... |