Учебные пособия |
Курс социально-экономической статистики Раздел: Экономика
|
Регрессионный анализ — это статистический метод исследования зависимости случайной величины у от переменных (аргументов) хj (j = 1, 2,..., k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения xj.
Обычно предполагается, что случайная величина у имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием = φ(x1, ..., хk), являющимся функцией от аргументов хj и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией σ2.
Для проведения регрессионного анализа из (k + 1)-мерной генеральной совокупности (у, x1, х2, ..., хj, ..., хk) берется выборка объемом n, и каждое i-е наблюдение (объект) характеризуется значениями переменных (уi, xi1, хi2, ..., хij, ..., xik), где хij — значение j-й переменной для i-го наблюдения (i = 1, 2,..., n), уi — значение результативного признака для i-го наблюдения.
Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессионного анализа имеет вид
(53.8)
где βj — параметры регрессионной модели;
εj — случайные ошибки наблюдения, не зависимые друг от друга, имеют нулевую среднюю и дисперсию σ2.
Отметим, что модель (53.8) справедлива для всех i = 1,2, ..., n, линейна относительно неизвестных параметров β0, β1,…, βj, …, βk и аргументов.
Как следует из (53.8), коэффициент регрессии Bj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную хj увеличить на единицу измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.
В матричной форме регрессионная модель имеет вид
(53.9)
где Y — случайный вектор-столбец размерности п х 1 наблюдаемых значений результативного признака (у1, у2,.... уn); Х— матрица размерности п х (k + 1) наблюдаемых значений аргументов, элемент матрицы х,, рассматривается как неслучайная величина (i = 1, 2, ..., n; j=0,1, ..., k; x0i, = 1); β — вектор-столбец размерности (k + 1) х 1 неизвестных, подлежащих оценке параметров модели (коэффициентов регрессии); ε — случайный вектор-столбец размерности п х 1 ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора εi не зависимы друг от друга, имеют нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием (Mεi = 0) и неизвестной постоянной σ2 (Dεi = σ2).
На практике рекомендуется, чтобы значение п превышало k не менее чем в три раза.
В модели (53.9)
В первом столбце матрицы Х указываются единицы при наличии свободного члена в модели (53.8). Здесь предполагается, что существует переменная x0, которая во всех наблюдениях принимает значения, равные единице.
Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом п оценки неизвестных коэффициентов регрессии β0, β1, …, βk модели (53.8) или вектора β в (53.9).
Так как в регрессионном анализе хj рассматриваются как неслучайные величины, a Mεi = 0, то согласно (53.8) уравнение регрессии имеет вид
(53.10)
для всех i = 1, 2, ..., п, или в матричной форме:
(53.11)
где — вектор-столбец с элементами 1..., i,..., n.
Для оценки вектора-столбца β наиболее часто используют метод наименьших квадратов, согласно которому в качестве оценки принимают вектор-столбец b, который минимизирует сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений уi от модельных значений i, т.е. квадратичную форму:
где символом «Т» обозначена транспонированная матрица.
Наблюдаемые и модельные значения результативного признака у показаны на рис. 53.1.
Рис. 53.1. Наблюдаемые и модельные значения результативного признака у
Дифференцируя, с учетом (53.11) и (53.10), квадратичную форму Q по β0, β1, …, βk и приравнивая частные производные к нулю, получим систему нормальных уравнений
решая которую получим вектор-столбец оценок b, где b = (b0, b1, ..., bk)T. Согласно методу наименьших квадратов, вектор-столбец оценок коэффициентов регрессии получается по формуле
(53.12)
ХT — транспонированная матрица X;
(ХTХ)-1 — матрица, обратная матрице ХTХ.
Зная вектор-столбец b оценок коэффициентов регрессии, найдем оценку уравнения регрессии
(53.13)
или в матричном виде:
Оценка ковариационной матрицы вектора коэффициентов регрессии b определяется выражением
(53.14)
где
(53.15)
Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем
(53.16)
Значимость уравнения регрессии, т.е. гипотеза Н0: β = 0 (β0,= β1 = βk = 0), проверяется по F-критерию, наблюдаемое значение которого определяется по формуле
(53.17)
По таблице F-распределения для заданных α, v 1 = k + l,v2 = n – k - l находят Fкр.
Гипотеза H0 отклоняется с вероятностью α, если Fнабл > Fкр. Из этого следует, что уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от нуля.
Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотезы Н0: βj = 0, где j = 1, 2, ..., k, используют t-критерий и вычисляют tнабл(bj) = bj / bj. По таблице t-распределения для заданного α и v = п - k - 1 находят tкр.
Гипотеза H0 отвергается с вероятностью α, если tнабл > tкр. Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии βj значим, т.е. βj ≠ 0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не включается. Тогда реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначительных переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение tнабл. После этого вновь проводят регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.
Существуют и другие алгоритмы пошагового регрессионного анализа, например с последовательным включением факторов.
Наряду с точечными оценками bj генеральных коэффициентов регрессии βj регрессионный анализ позволяет получать и интервальные оценки последних с доверительной вероятностью γ.
Интервальная оценка с доверительной вероятностью γ для параметра βj имеет вид
(53.19)
где tα находят по таблице t-распределения при вероятности α = 1 - γ и числе степеней свободы v = п - k - 1.
Интервальная оценка для уравнения регрессии в точке, определяемой вектором-столбцом начальных условий X0 = (1, x, x,,..., x)T записывается в виде
(53.20)
Интервал предсказания n+1 с доверительной вероятностью у определяется как
(53.21)
где tα определяется по таблице t-распределения при α = 1 - γ и числе степеней свободы v = п - k - 1.
По мере удаления вектора начальных условий х0 от вектора средних ширина доверительного интервала при заданном значении γ будет увеличиваться (рис. 53.2), где = (1, ).
Рис. 53.2. Точечная и интервальная оценки уравнения регрессии .
К содержанию книги: Курс социально-экономической статистики
Смотрите также:
СТАТИСТИКА ЭКОНОМИЧЕСКАЯ. Отрасль статистики, изучающая ...
СТАТИСТИКА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ. Отрасль статистики, изучающая материальное |
ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ статистика ...
ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ
АКТИВНОСТИ ... Вводный курс по |
Л.П. Кроливецкой. -
М.: Финансы и статистика, 1996. Березина М.П. |
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ
ИНФОРМАЦИИ ... Статистика дает |
Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе
Для студентов,
обучающихся по специальностям «Статистика», « |
Практическое значение экономической теории. Главные ...
межотраслевых (экономическая
география, демография, статистика и др.). |
Азимов Л.Б.,
Журавская Е.В., Макарова О.Ю. Преподавание экономики в |
Деятельность предприятия. Экономика предприятия
М.: Финансы и статистика,
1996. 11. Настольная книга финансиста / Под ред. |
ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ Внешнеэкономическая деятельность предприятия