|
|
Когда дело касается статически
определимой балки, то в состоянии чистого предварительного напряжения центр
давления совпадает с точкой прохождения пучка; под действием момента М он
смещается;
По мере загружения усилие F само по себе колеблется между
значением Fo, соответствующим предварительному напряжению, и конечным
усилием, достигаемым в момент разру- > шения балки. Если обеспечено
эффективное сцепление пучка с бетоном, величина усилия F, в конечном
состоянии, колеблется по длине бал- сечение ки и достигает максимального
значения в сече- разрушения ^ нии ра3рушения. В этом сечении центр давления
достигает точки Ег и момент достигает величины Мг В любом другом сечении
Разрушение такой статически определимой балки происходит
как только разрушилось одно сечение; в этом случае момент в каждом сечении и
для любого сочетания нагрузок известен, его определяют, не прибегая к
каким-либо гипотезам в отношении деформаций. Если при нагрузке эпюра
изменения момента по длине балки представляется выражением Af=/(*), то при
нагрузке k эта эпюра будет M=kf. Таким образом, когда начерчена эпюра
моментов и объемлющие линии предельных моментов (Мг и М'г), то можно
определить коэффициент безопасности fe, увеличивая ординаты (М) до тех пор,
пока кривая, изображающая эти увеличенные моменты, коснется в какой-либо
точке одной из объемлющих эпюр
Однако момент может в действительности достигнуть своего
максимального значения только в том случае, если в арматурном пучке
растягивающие напряжения действительно достигли соответствующего значения, а
этого может и не произойти в случае недостаточности сцепления, т. е. в случае
плохого качества инъекции.
С этой оговоркой и при условии, что предельные моменты
должны быть определены с достаточным приближением, вычисленный коэффи
циент безопасности статически определимой балки не
вызывает сомнений.
Не так обстоит дело в статически неопределимой балке; в
этом случае для разрушения всего сооружения недостаточно, чтобы одно какое-
либо сечение достигло своего разрушающего предельного момента.
В дальнейшем нам придется рассмотреть зависимость между
моментом М, возникающим в некотором сечении, и кривизной — линии закономерности
«момент—кривизна», теперь же допустим, что она может быть представлена
диаграммой, подобной изображенной на Для небольших значении моментов
действует обычный линеиныи закон; далее кривая отклоняется и принимает вид
всех ана- ds EJ
логичных диаграмм, представляющих изменение механической
величины (в данном случае—момента) в функции от деформаций (в данном случае —
кривизны).
Следуя общепринятой гипотезе (которую, однако, мы
подвергнем обсуждению в главе XIII), предположим, что представленная на
VII.8 диаграмма в момент разрушения заканчивается площадкой (или близкой к
площадке линией) а—Ь. Из этого следует, что когда в некотором сечении А
достигнут его разрушающий (предельный) момент, кривизна прогиба может еще
некоторое время увеличиваться (или радиус кривизны уменьшаться) до того, как
произойдет действительное разрушение. Эти пластические явления не ограничены
одним рассматриваемым сечением, а распространяются на некоторую зону е (
VII.9), обычно короткую, но не равную нулю, в центре которой находится
рассматриваемое сечение; кривизна — может в этой зоне увеличиваться при
постоянном значении момента (или при очень небольшом его увеличении);
суммируя эти увеличения кривизны на протяжении зоны, получим ] — а , где а
—угол между касательными в двух крайних точках зоны е. Поскольку эта зона
коротка, то для частей балки, находящихся вне данной зоны, все происходит
приблизительно так, как если бы в точке А имелся шарнир и конечное сечение
зоны слева от А повернулось бы под действием постоянного момента, равного
разрушающему моменту, на угол а по отношению к конечному сечению зоны справа
от А; или, другими словами, для нагрузок, превышающих нагрузки, вызвавшие в
сечении А момент МГУ точка А играла бы роль шарнира. Это — то, что называется
пластическим шарниром. Такое общепринятое выражение неправильно в то,м
смысле, что в данном случае имеется не шарнирная точка (что вызвало бы беско
нечно большие значения кривизны или нулевые значения
радиуса кривизны изогнутой оси), а пластичная зона; однако можно это
выражение применять, отдавая себе должный отчет в его истинном смысле.
Вследствие появления пластических шарниров и так как
вблизи от этих шарниров на некотором протяжении линейный закон перестает
действовать, положения упругой стадии не могут быть использованы для
определения коэффициента безопасности статически неопределимого сооружения.
Рассмотрим такое статически неопределимое сооружение и
предположим, что для любого сечения диаграмма зависимости между моментом и
кривизной изогнутой оси имеет вид, изображенный на VII.8, с площадкой а—6,
длина которой достаточна, чтобы можно было не заботиться о случайных
ограничениях кривизны перед разрушением.
Пусть будет эксплуатационная временная нагрузка. Будем
увеличивать эту нагрузку и предположим, что в некоторой стадии загружения
величина приложенной временной нагрузки будет k.
При некотором значении k, равном ku предельный момент
достигается в некотором первом сечении Ль которое тогда при дальнейшем
увеличении нагрузки начинает действовать как пластический шарнир под
действием момента постоянной величины, равной указанному предельному моменту
Другими словами, когда величина k становится больше, чем
k\, то при приложении нагрузки все происходит так, как если бы сечение А\
было шарниром, поскольку величина момента, вызываемого этими нагрузками в А\,
может быть только нулем. Наоборот, в других участках сооружения моменты
возрастали бы быстрее и при значении k, равном k2f образовался бы второй
пластический шарнир в некотором сечении А2. Если нагрузки продолжают
возрастать и величина k становится больше, чем k2j то система под действием:
нагрузок ведет себя так, как если бы существовало два шарнира А\ и А2 И так
далее, до тех пор, пока число и расположение шарниров станут такими, что при
дальнейшем увеличении нагрузки сопротивление станет невозможным.
Обозначим через N — степень статической неопределимости
сооружения, т. е. число независимых неизвестных, значения которых необходимо
знать для определения усилий в сооружении. Предположим, что в некотором
сечении, являющемся пластическим шарниром, изгибающий момент достиг своего
предельного значения; поскольку момент в этом сечении является определенной
функцией от лишних неизвестных данной статически неопределимой системы, то
для этого сечения можно выразить зависимость между этими неизвестными и тем
самым число независимых неизвестных сократится на единицу. Таким образом, в
результате появления последовательных пластических шарниров степень
статической неопределимости становится N—1, затем N—2, N—3
Когда появляется N-fi шарнир, состояние системы полностью
определено.
Таким образом, система последовательно освобождается от
излишних связей, пока не станет статически определимой или, точнее, —
статически определяемой при помощи значений N неизвестных.
При увеличении нагрузки, начиная от kNt, система работает
как статически определимая. Когда образуется (Л/"+1)-й шарнир,
сопротивление становится невозможным и происходит разрушение. Коэффициент
kN+i у соответствующий появлению (N+ 1)-го шарнира, 'и есть коэффициент
безопасности.
Если система в целом обладает статической неопределимостью
N-й степени, но состоит из пролетов или групп пролетов, каждая из которых
обладает статической неопределимостью степени п, п\ п"..., то
максимальное число шарниров, могущих образоваться без нарушения прочности
сооружения, равно N 'плюс п, пп"... в каждом из элементов, на которые
сооружение может быть подразделено. Разрушение наступает, когда в каком-либо
из этих элементов появляется (я+1)-й, (п'+ 1)-й; (п"+ 1)-й... шарнир,
даже если число N+1 еще не достигнуто в целом. Это может, вообще говоря,
случиться, если только одна из частей сооружения загружена; тогда разрушение
происходит вследствие исчерпания несущей способности загруженной части (что,
впрочем, может вызвать исчерпание несущей способности также и прилегающих
пролетов) при избытке прочности остальной части сооружения.
Эта остальная часть сооружения, в целом, ведет себя по
отношению к загруженной части как система опор, несущая способность которых
не исчерпана. Действительное состояние внутри этих частей с точки зрения
разрушения рассматриваемой части нас не интересует.
Сооружение, очевидно, надежно, если каждый из его
элементов сохраняет прочность в условиях загружения, наиболее неблагоприятных
для данного элемента. Поэтому можно определить (или проверить) размеры
сооружения, определяя в отдельности размеры каждого из составляющих его
элементов .
Каждый такой элемент сам по себе обладает определенной
степенью статической неопределимости п; но возможно, что его нельзя
рассматривать отдельно от некоторых прилегающих элементов, причем
совокупность рассматриваемого элемента и прилегающих к нему обладает степенью
статической неопределимости п'.
Для определения размеров рассматриваемого элемента
необходимо загрузить сооружение таким образом, чтобы этот элемент был
поставлен в наиневыгоднейшие условия, и проверить, что при количестве
шарниров, вызывающем разрушение, равном п+1 или п'+1, коэффициент
безопасности kn+i или ftn'+i , на который должны были быть умножены нагрузки,
действительно равен или больше желаемого коэффициента безопасности k.
Существуют или могут существовать две системы загружения,
создающие указанные наиневыгоднейшие положения; одна из них соответствует
разрушению от положительного момента (загружение самого данного элемента с
одновременным загружением пролетов в таких зонах, загружение которых
увеличивает положительный момент в рассматриваемом элементе, т. е. уменьшает
моменты защемления); другая система загружения соответствует разрушению от
отрицательного момента (обычно, хотя и не обязательно, это загружение
является дополнительным к предыдущему).
При загружениях надо исходить из того, что повышаются на
множитель k временные нагрузки, но не постоянные нагрузки, так как увеличение
последних может оказать благоприятное воздействие и, следовательно, повести к
переоценке коэффициента безопасности. По этим соображениям приходится либо
совершенно не повышать постоянные нагрузки и добиваться определения
безопасных размеров путем увеличения одних только временных нагрузок, либо
произвести повышение постоянных нагрузок в тех зонах, где это повышение
является неблагоприятным; но в последнем случае надо, чтобы это повышение
было невелико; было бы нелогично допускать, что постоянная нагрузка (и во
всяком случае — собственный вес) может существенно колебаться при переходе
границы зоны, где повышение нагрузок уже не должно производиться. Повышение
нагрузок на 10% нам кажется разумным максимумом.
Действительными неизвестными, числом п (которое может быть
равно N, если конструкция полностью изолирована при рассматриваемом
загружении), определяющими состояние системы, являются дополнительные реакции
различных опор (причем, как было сказано выше, опора может быть образована
целой частью сооружения с избыточным сопротивлением).
Можно, очевидно, заменить их (6) другими независимыми величинами,
числом /г, связанным с ними (например, моменты в п ;|§р сечениях, каковы
моменты на ^р опорах в неразрезной балке, при действительно мог возникнуть.
Так, например, брус, свободно опирающийся по обоим концам на неподвижные
шарниры, обладает статической неопределимостью первой степени для случая
«положительного» разрушения, но остается статически определимым для случая
«отрицательного» разрушени.
Если рассматриваемая часть сооружения имеет р неподвижных
опор, без шарниров на этих опорах, >число неизвестных равно 3р (по три
усилия V, Q, М на каждую опору); эти реакции связаны тремя уравнениями
равновесия; число независимых неизвестных, а следовательно, и степень
статической неопределимости, составляет 3р—3.
Поэтому разрушение происходит в результате образования
3р—3+ + 1=3р—2 шарниров.
Иногда, однако, бывает трудно распознать, 'какое число р
следует выбрать. Так, например, рассмотрим часть пешеходного моста Фестиваля,
выделенную посредством разрезов g'0S\S2, образованную двумя первыми пролетами
и стойкой g'0Sо.
Эта часть моста поддерживается тремя опорами, совпадающими
с разрезами. Таким образом, число шарниров, необходимое для того, чтобы
вызвать разрушение, должно быть 3*3—2=7. Однако далее будет показано, что
таких шарниров оказывается только шесть, когда пролет 1\ разрушается, выводя
из строя все сооружение.
Было бы, действительно, 7 шарниров, если бы разрушился
пролет /2, но он не разрушился. Поэтому (для того чтобы сосчитать необходимое
число шарниров) надо рассматривать совокупность, образованную стойкой gtfgo и
пролетом 1\\ она поддерживается двумя опорами, и число шарниров, необходимое
для-разрушения этой системы, равно 3-2—2=4; это и соответствует
действительности.
Таким образом, может встретиться необходимость в тонких
рассуждениях. На практике, однако, не стоит слишком заботиться о преодолении
этих трудностей.
Часть сооружения, которая должна быть выделена для
проверки безопасности, определяется очень быстро, как будет видно из дальнейшего,
с помощью эпюр, причем достаточно исследовать небольшое число эпюр моментов,
чтобы определить части сооружения, имеющие избыточные связи. Надо в
загруженной части сооружения начертить наиболее благоприятные эпюры моментов;
этого можно достигнуть, если принять наибольшие возможные моменты заделки на
концах этой запруженной части; это непосредственно покажет, являются ли эти
моменты предельными со стороны соседних пролетов и, следовательно, являются
ли эти пролеты избыточными; если нет, то приходится рассмотреть наиболее
благоприятные условия заделки и учесть влияние следующих пролетов.
Точно так же, поскольку сечения шарниров являются
сечениями, в которых эпюра моментов касается объемлющей эпюры предельных
моментов, то число п+1 пластических шарниров определяется непосредственно из
эпюры -в зависимости от возможных точек соприкасания; и для того чтобы
удостовериться в правильности решения, достаточно уничтожить одну из точек
соприкасания путем небольшого уменьшения коэффициента k повышения нагрузок.
Остающиеся р, шарниров должны удовлетворять условию, чтобы сооружение было
статически определимым.
Разумеется, в некоторых случаях симметрии шарнир не может
образоваться без появления второго, симметричного; такие два шарнира,
образующиеся при разрушении, равноценны одному.
|