|
|
Обозначим через Л0, Аг, Ап
последовательные опоры, через /ь /2, ..., 1п— длины пролетов ( XIII. 34).
Допустим, что можно пренебречь упругими деформациями по сравнению с
пластическими деформациями. Назовем пластическими шарнирами поперечные
сечения посредине зоны пластических дефор м аций. Следовательно, балка в
состоянии, близком к разрушению, может рассматриваться как образованная из
прямолинейных отрезков, связанных посредством шарниров.
Заметим, что эти шарниры не должны обязательно все
превратиться в сечения, по которым происходит разрушение, и что могут иметь
место в других участках балки зоны значительных пластических деформаций.
Балка с числом пролетов /г, неподвижными опорами которой являются Л о и АП1
обладает /г—1 лишних связей; каждый из ее промежуточных пролетов дает две
лишние связи, а каждый из крайних пролетов — одну лишнюю связь. Полная
приспосабливаемость предопределяет освобождение балки от этих п—1 лишних
связей путем возникновения п—1 шарниров в стадии разрушения с двумя
максимумами — в промежуточном пролете и одним — в крайнем пролете. В этих
шарнирных сечениях момент достигает, как известно, величины разрушающего
момента. Достижение величины разрушающего момента в дополнительном сечении
вызывает разрушение балки. Таким образом, в случае полной приспосабливаемое™
разрушающие моменты возникают в п сечениях с тремя максимумами в
промежуточном пролете и с двумя — в крайнем пролете.
Имеется единственное решение; оно получается без
вычислений простыми геометрическими построениями, как это встречалось в
главах VII—IX.
В случае же неполной приспосабливаемое™ в стадии
разрушения разрушающий момент возникает только в некоторой части шарниров.
Могут встретиться затруднения в том, как различить шарниры в стадии
разрушения от зон значительных пластических деформаций. Тем не менее, обычно
не возникает сомнений относительно положения тех шарниров, которые достигли
стадии разрушения. С другой стороны, эта недостоверность не имеет
практического значения, как это будет видно из дальнейшего.
Состояние балки, кроме того, должно быть определено при
помощи величины п независимых параметров или состояние пролета посредством
значений трех (в промежуточных пролетах) и двух (в крайних пролетах)
параметров.
В качестве параметров можно принять углы поворотов а в
шарнирах, которые являются шарнирами в стадии, разрушения или шарнирами зоны
со значительными пластическими деформациями. Если мы имеем дело только с
шарнирами в стадии разрушения (иными словами, которые достигли стадии
разрушения в случае полной приспосабливаемое™), то число неизвестных углов
поворота будет п. Эти п неизвестных, как это будет установлено дальше,
связаны системой п — 1 совместных уравнений. Следовательно, достаточно
установить величину одного из этих неизвестных, приняв ее равной величине,
соответствующей стадии разрушения, чтобы все остальные были определены. Если
значения этих других углов поворота меньше (или почти равны) значений углов
поворота в стадии разрушения соответственных шарниров, то найденное решение
следует признать правильным. В противном случае расчет необходимо начать
вновь для другого шарнира, о котором, как и в предыдущем случае, будет
предположено, что в нем возник поворот, соответствующий стадии разрушения.
После решения уравнений с помощью найденных значений углов поворотов можно определить
при помощи коэффициентов § 9 значения моментов.
Если имеются, помимо шарниров в стадии разрушения, и зоны
значительных пластических деформаций, то количество неизвестных будет больше
п\ однако среди них имеется только п независимых неизвестных, потому что
величины моментов (а следовательно, углов поворота их сечений) в п шарнирах в
стадии разрушения полностью определяют эпюру моментов и, стало быть, величины
всех углов поворота. Впрочем, вышеизложенное может стать очевидным и из
следующих геометрических построений
Пусть и 8t. — углы поворота сечений соответственно на
левом и правом конце пролета /,•; а—углы поворотов в стадии пластических
деформаций в каждом шарнире пролета, обозначенные индексом пролета; а' — угол
поворота шарнира на опоре, обозначенный индексом опоры.
Будем рассматривать углы наклона отрезка к оси балки в
качестве положительных в том случае, если отрезок имеет подъем слева направо,
и углы поворота сечений в качестве положительных, если они образуются
движением, противоположным вращению часовых стрелок; угол поворота шарниров
определяется вращением правого отрезка в сторону левого отрезка.
На XIII.34 углы j отрицательны, углы б положительны, углы
поворота а положительны, углы поворота' а' отрицательны. Через х обозначим
абсциссы с началом координат на левой опоре; 2,- обозначает суммирование по
всему пролету в целом.
Чтобы определить соотношения между углами поворота, их
можно написать в абсолютных величинах согласно XIII. 34, а затем принять во
внимание их знаки. В таком случае будут получены формулы, правильные в
отношении величин и знаков и пригодные для всех вариантов XIII. 34.
Однако можно разложить угол поворота а' на два угла
поворота— налево от опоры ) и направо от опоры (а]+1). Таким образом,
о.", и а1+{ играют ту же роль, что и другие углы поворота а; угол становится
углом наклона прямого отрезка А\А{а угол yl+J прямого отрезка А. А"и1\
эти два угла наклона взаимно равны
Следовательно, можно еще написать такую же формулу .при
условии вышеуказанного расчленения угла (подобный пример имеется в § 10,
пример 1)
Подобным образом будут получены п—1 уравнений, о которых
было сказано выше.
Можно придать более широкое толкование применимости
формулы. Любая формула расчета по упругой стадии, состоящая из интегралов типа
1 ^^ EI ^Xf может ыть заменена суммой £,• a f(x), где / является той же
функцией и х—абсциссой одного из шарниров в условиях пластичности (либо зоны
значительных пластических деформаций), включенного в сумму Е.
Этому выражению соответствует в фазе пластических деформаций
уравнение Еуа, где £ распространяется полностью на всю раму. Для
защемленной рамы получим Г My ds Q. CMxds _ С Mds _ Q J EI ~~ ' J EI ~ ' J EI
Для фазы пластических деформаций получим 2уа = 0; 2*а = 0;
2а = 0.
Если повороты сечений в зоне значительных пластических
деформаций связаны с поворотами шарниров в стадии разрушения, то эти
последние являются независимыми неизвестными. Для системы со степенью
статической неопределимости п имеется п+1 шарниров в стадии разрушения и п
соотношений совместности, что дает возможность, как это было отмечено выше,
устанавливать одну из величин поворотов равной величине поворота в стадии
разрушения, чем определяются величины других п поворотов, следовательно, и
моментов. Найденное подобным путем решение годится только, если, с одной
стороны, п определенных углов поворота меньше (или равны) углам поворота в
стадии разрушения, и если, с другой стороны, можно выбирать статически
неопределимые реакции, для которых соответственные моменты совпадают с тем,
которые найдены расчетом; в принципе это второе условие может быть проверено,
поскольку имеется п уравнений для определения п неизвестных реакций; однако
можно получить ошибочные решения, если величина реакций превышает прочность
тех элементов, которые их вызывают.
Примем, что балка, имеющая четыре равных пролета,
предварительно напряжена параболическими арматурными пучками и подвергнута
постоянной неподвижной- нагрузке р и временной нагрузке s, которую
увеличивают вплоть до наступления стадии разрушения. Эпюрами моментов являются
параболы со стрелой прогиба в незагруженных пролетах и параболы со стрелой прогиба
(p + £s)— в загруженных пролетах.
Рассмотрим случай загружения пролетов 1 и 3. Кривые
моментов при наличии полной приспосабливаемое™ изображены на XIII.36.
Имеется 4 шарнира, абсциссы в последовательных пролетах равны соответственно:
0,4/; 0,5/; 0,5/ и 0,6/. На опорах шарниры отсутствуют. Уравнения (1) дают 0,4
ах + 0,5 а2 = 0 0,5 а2 + 0,5 а3 = 0 0,5 а3 + 0,4 а4 = 0.
Последовательные углы поворотов, выраженные в функциях alf
равны ( XIII. 37): + ах; —0,8^5 k+0,8ai;—а1в
Из XIII. 36 непосредственно можно усмотреть, что для
получения того же значения а в пролете /4, что и в пролете /ь несмотря на
различие в длинах их зон пластических деформаций, необходимо, чтобы в этом пролете
/4 кривая моментов проникла бы насколько возможно глубже в зону пластических
деформаций, чего можно достигнуть в
случае, если заставить параболу — касаться линии,
изображающей отрицательные разрушающие моменты, откуда определяются а4 и
точка пересечения кривой момента в Л3. В таком случае имеется всего только
одна неизвестная, которой является коэффициент запаса k. Им определяются две
параболы (p + ^sH-в пролетах 1г и /3, точки пересечения которых получаются
соответственно на опорах Л0 и Точки пересечения в А\ и А2 взаимно связаны
условием, что парабола — остается касательной к отрицательной огибающей
кривой. Следует подвергнуть изменениям этот коэффициент k, пока в итоге не
получатся, по меньшей мере приближенно, расчетные соотношения углов поворота
|