|
Если пренебречь величинами
поворотов сечений в стадии упругих деформаций по сравнению с таковыми в стадии
пластических деформаций, то можно схематизировать балку прямолинейными
отрезками кривой, разделенными шарнирами в фазе пластических деформаций. Из этого
вытекают простые соотношения между последовательными поворотами сечений.
Пример 1. Трехпролетная балка. Возвратимся к испытанию
Макки над балкой С3 (глава X); пренебрежем собственным весом балки.
Возьмем трехпролетную балку, нагруженную сосредоточенной
нагрузкой в центре среднего пролета. Будут- иметь место три шарнира: один — в
центре среднего пролета, и по одному — над каждой промежуточной опорой.
Представим себе поворот над опорой в виде дуги окружности, описанной из
центра этой опоры для того, чтобы выявить углы поворота 71 на крайней опоре
боковых пролетов ( XIII.21). Если обозначить через а' угол поворота в шарнире
над опорой и через а — угол поворота в шарнире в пролете, для которых мы пока
что будем рассматривать только их абсолютные величины, то, очевидно, будем
иметь равенство
Для вычисления угла -fi разделим шарнир над опорой Ах на
два полушарнира, соответствующие поворотам сечения, которые происходят
соответственно слева и справа от опоры.
Пусть будут — часть угла поворота, происходящего слева
(иными словами, в пролете Zi), и а'2— часть угла поворота, происходящего
справа (иначе говоря, в пролете /2) и пусть х — абсцисса центра полу шарнира
слева по отношению левой опоры А0. Точки А0 и Ах находятся на одном уровне,
откуда получим
Следовательно, соотношение между.углами поворота выразится
следующим уравнением:
Значение х очень близко к значению 1\ и, следовательно,
о.\ j-j
является членом, стремящимся в пределе к нулю. Поэтому в
первом приближении им можно пренебречь и написать только а' = .
Однако не представляет трудности принять его в расчет. В
дальнейшем будет найдено, что приблизительно х= = 0,92 1\. Таким образом,
вышеприведенное уравнение приобретает вид 0,92а; + ^ = f. В среднем пролете
арматурный пучок расположен, как изображено на XIII.23 (с измененным.
масштабом).
На этом рисунке 'нанесены значения h\ расстояния оси
арматурного пучка до сжатой грани. Поперечное сечение пучка—157 мм2\ его
предел прочности на (растяжение—186 кг/мм2. Разрушающее усилие Fr =29 200 кг. Предел прочности бетона ;на сжатие R=530 кг\см2. Процентное соотношение ш—, его значения
нанесены на рисунке. Затем были вычислены .при помощи диаграммы VI. 10 главы
VI (сталь марки IV) значения — (положение нейтрального волокна) и л
(коэффициент напряжения для стали в зависимости от прочности в момент
разрушения). Эти значения ^и— также нанесены на hi. Эта сталь, работая в
условиях ее предела упругости, воспринимает усилие в 1360 кг и расположена на расстоянии в 1 см от растянутой поверхности.
Таким образом определяются следующие разрушающие моменты,
которые легко поддаются проверке. Это и есть положительные разрушающие моменты,
относящиеся к центральной части пролета; отрицательные разрушающие моменты
частей пролета, смежных с опорами, определяются по симметрии.В боковых
пролетах отрицательный разрушающий момент является постоянным и равным 4110
кгм.
Момент начальной стадии трещинообразования соответствует
пределу прочности на растяжение в 65 кг/см2, что является величиной,
'полученной Макки для балки CR; бетон этой балки имел прочность, меньшую
таковой балки С3 (450 кг/см2), однако это различие не может сильно повлиять на
результаты. Момент достигнет своей величины, соответствующей начальной стадии
трещинообразования, когда центр давления достигнет эксцентрицитета где ng —
среднее значение предварительного напряжения (52 кг/см2); момент равняется
F0(ef+e0), где F0 — усилие предварительного напряжения в условиях нормальной
работы и е0 — абсолютная величина эксцентрицитета усилия предварительного
напряжения. Таким образом, моменты в начальной стадии трещинообразования в
точках от 1 до 5 равняются: 1280, 1540, 1730, 1850, 1870 кгм.
Проведем .на диаграмме линии, изображающие изменения по
длине пролета момента Мг, момента в начальной стадии трещинообразования Mf и
моментов М2 и М3, равных соответственно 0,9МГ и 0,7МГ. В случае полной
тУриспосабливаемости над опорой будет достигнута величина момента в 4110 кгм,
равная абсолютной величине момента, возникающего в центре. В таком случае
получится изображенная на XIII.24 эпюра моментов 2. Предположим сначала, что
трещины в крайней степени сближены (без сокращения, обусловленного .наличием
разрывов между трещинами). Измеряя на эпюре длины зон нарушенной структуры,
можно получить следующие результаты,
Это было, очевидно, априори, поскольку угол поворота ,не
был равен нулю (что является единственным условием, допускающим полную
'приспосабливаемость в связи с симметрией в среднем полете).
Этот прием расчета может показаться слишком упрощенным,
потому что длины зон нарушенной структуры подвергаются изменениям "в то
время, как изменяется максимальный момент, достигнутый в точке А\. В таком случае
можно нанести на XIII.24 линии, соответствующие стадии возникновения в точке
А\ моментов М2 и М3 (линии II и III) и переделать расчеты коэффициентов
поворота.
Вычертив кривые изменений углов поворота у и (0,92a|+a2) в
функции момента, возникшего в точке Ль можно определить, что величина момента
будет порядка 0,8 Мг.
В встречающемся на практике случае трещин с разрывами
между ними приспо- сабливаемость будет немного менее значительной. Применяя
эмпирические коэффициенты из тех же таблиц и внеся коррективы в расчеты,
будут найдены следующие значения углов поворота, исходя из предположенных
взаимных расстояний d между трещинами.
Итак, коэффициент использования балки будет 0,87. В
действительности же, если принять во внимание собственный вес балки, который
равнялся 60 кг/м и который вызывает дополнительный изгибающий момент,
вычисляемый для статически определимой балки ,в размере 120 кгм, а также и
то, что по причине значительной ширины площадки загружения момент равен 0,962
— , получим следующее выражение
Согласно наблюдениям было получено 6710 кг, т. е. :на 8% меньше вычисленной величины. Несовпадение в 8% между выполненным примерным
расчетом и данными опыта не является неожиданным вследствие .недостоверности
наших коэффициентов (относящихся к тому же к стали, отличной от той, которая
была употреблена на деле) и вследствие возможных расхождений между величинами
прочности.
Приспосабливаемость была бы без сомнения более полной для
балок с большей высотой. Равным образом она была бы более полной, если бы вместо
одной сосредоточенной нагрузки пролет был бы подвержен действию
распределенных нагрузок, потому что в таком случае(параболическая зона нарушенной
структуры) значения-возрастали
бы, а значения а'2 уменьшались бы. Вуты на опорах играли
бы благоприятную роль в смысле уменьшения значений а'.
В практических целях и особенно при составлении проекта
было бы бесполезным анализировать в подробностях 'вышеописанные явления,
поэтому можно удовлетвориться упрощенными вычислениями.
Можно ограничиться рассмотрением предельной кривой
разрушающих моментов и кривой моментов в начальной стадии трещинообразования.
В зависимости от длины зоны нарушенной структуры и от формы этой зоны можно
(при по;мощи .приведенных в § 9 коэффициентов) определить величины поворотов
сечений.
Пример 2. Двухпролетныебалки. ИспытанияМориса . Эти балки
имели сечения 15,2X10,2 см и были предварительно напряжены посредством
арматурного пучка из 8 проволок диаметром 5,08 мм, воспринимающего усилия предварительного напряжения в 13 600 кг и обладающего сопротивлением на разрыв .Fr=26 000 кг. Следовательно, предварительное напряжение в процессе работы конструкции равнялось 0,5 Fг в предположении *0=0,5.
Предел прочности бетона на сжатие равен 500 кг/см2.
Приведены значения 'разрушающих моментов и кривизны в
стадии разрушения в зависимости от hx и при применении табл. XIII.4 и XIII.8
§ 3.
Данные этой таблицы изображены на Х1Л .26. Эти кривые
дают возможность определить моменты.
Рассмотрим, пользуясь этими данными, перераспределение
моментов в случае многоугольного совмещенного арматурного пучка и лучков,
полученных из предыдущего путем линейных преобразований
Сначала убедимся для случая полного приспособления, что
разрушающая нагрузка Р почти не зависит от происшедших линейных
преобразований.
При сравнении получается расхождение немного /менее 3%.
Это происходит от того, что разрушающий момент в пределах значений hi от 3 до
12,5 см приблизительно является линейной функцией Aj. Можно с известной
достоверностью «аписать, что Мг= 23600 (hi—3), где h\ дано в см.
Рассмотрим теперь, в "какой мере эта зависимость
окажется видоизмененной из-за возможных ограничений перераспределения
моментов.
При помощи табл. XIII. 14 можно построить линии
разрушающих моментов, внутри которых следует вписать ли-нии моментов под
нагрузками и линии моментов в начальной стадии трещинообразования
Случай «а». Нанесем линию полной приспосабливаемое™ при
условии возникновения в пролете и на рпоре разрушающих моментов (линия /).
(Эта линия должна быть вычерчена на чертеже в подходящем масштабе с тем,
чтобы можно было наносить длины с необходимой точностью) .
Обозначим через а и а' углы поворота шарниров в пролете и
на опоре ( XIJI.29). Очевидно требуется в случае приложения нагрузки
посредине пролета, чтобы а = а'.
XIII.28 дает нам возможность вычислить эти углы путем
измерения длин зоны нарушенной структуры для линий в пределах пластических
деформаций и применяя коэффициенты § 9, которые определяют углы поворота для
различных видов зоны нарушенной структуры (в данном случае имеется треугольная
зона нарушенной структуры) .
Случай «а» (линия I) —а: длина отрезка зоны пластических
деформаций— 92 см.
Значение кривизны в стадии разрушения — j^j рад/см
коэффициент глубины трещинообразования (пенетрации)« =
0,32-92 .Ш^ЗЫрад. Длина отрезка зоны пластических деформаций =2 «33 см.
Значение кривизны в стадии разрушения ; коэффициент глубины
трещинообразования (пенетрации)
Таким образом, для момента в пролете, вели- XIII. 30.
График для чина которого заключена между Мг и М2, до- определения^^степени
полнительное построение дает возможность определить степень приспосабливаемо.
Значения а и а' наносят на чертеже в функции момента,
возникшего? в пролете. Пересечение линий, изображающих изменения этих двух
углов, определяет приближенно величину момента, достигнутого в пролете. В
данном варианте — это 0,94 Мг
Случай «б» (линия I): а: длина отрезка зоны пластических
деформаций— 84 см;
Таким образом, значения углов поворота очень близки друг к
другу и приспособляемость оказывается почти полной. Согласно линии II
находим: а = 12,2; а7 = 17,9.
При помощи схемы, аналогичной таковой на XII.30,
находят,, что возникающий в пролете момент будет равен 0,97 Мг
Случай «в». На XIII.28 нанесены три линии: /, II и III,
соответствующие полной приспосабливаемое™, затем на 90% (момент в пролете =
М2 = 0,9Afr) и, наконец, на 70% (момент в пролете — = М3 = 0,7Мг). Обозначив
через А * и Ах' длины отрезков зон нарушенной структуры соответственно в
пролете и на опоре, находят следующие данные табл. XIII.14
Из этой таблицы видно, что а > а' для линии I и II и
а<а' для линии III.
Схема, построенная аналогично таковой XIII.30,
показывает, что приспособляемость проявляется для изгибающего момента в пролете
на 87%.
Все эти результаты соответствуют предположению, что
трещины находятся на сближенном расстоянии.
Для практического использования следует принимать во
внимание предельное взаимное расстояние d между трещинами, характеризуемое
соотношением—. В § 9 приведены коэффициенты пенетрации,
относящиеся к различным вариантам соотношения—Если принять соотношение — =1,
то значения углов поворота уменьшаются в пропорции 0,75 в зонах, в которых
момент достигает величины разрушающего момента, в пропорции 0,82 — в зонах, в
которых момент достигает величины М2, и в пропорции 1 — в зонах, в которых
момент достигает величины Мз.
Следовательно, эти из!менения в сторону уменьшения крайне
незначительны по причине рассредоточения напряжений.
Коэффициент использования. Используя полученные выше
данные (не определяя вмимное расстояние между трещинами), будем иметь: ^ = ^
+ (пренебрегая собственным весом балки)
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1) в случае полной приспосабливаемое™ линейные
преобразования пучка не изменяют величину разрушающей нагрузки для
неразрезной балки (общая зависимость);
2) коэффициент использования может зависеть от
получившихся деформаций; для тех деформаций, которые подводят арматурный
пучок очень близко к сжатой грани, коэффициент использования снижается. Тем
не менее (зависимость должна быть проверена в каждом частном случае)
расхождение между фактическими разрушающими нагрузками и вычисленными,
учитывая эти коэффициенты использования, не достигает для рассматриваемого
случая 10%.
Сравнение с результатами испытаний. В главе X (§ 9) было
отмечено, что возникла необходимость в систематическом внесении поправок в
данные о прочности, измеренной на кубиках, сообразно английским нормам, с
тем, чтобы они оказались сравнимыми с данными, измеренными на исследованных
арматурных .пучках. Необходимый переходный коэффициент равнялся 0,625 (см.
предшествующую главу)
Помещенная ниже табл. XIII.16, исходя из этого
предположения дает исправленные величины пределов прочности и значения разру
шающего момента,-вычисленные согласно приемам, изложенным в тла i ве VI для
испытаний 12, 13, 14, 15 и 16 (столбцы 4, 5, 6 и 7).
Коэффициенты уменьшения вычислены с учетом расположения
арматурного пучка (С — совмещенный, Т. Н. — смещенный кверху, Т. В.—
смещенный книзу) и соответствуют не полной приспосабливаемости (столбец 9).
Полученные таким образом значения моментов приведены в столбце 10. Фактически
измеренные значения моментов указаны в столбце И, равно как и величины
реакций и значения разрушающих усилий (расчетные и экспериментальные).
В общем можно придти к заключению, что величины опорных
моментов, которые в соответствии с допущением достигли своих максимальных
значений без снижения вследствие приспосабливаемости, несколько преувеличены.
Быть может, в данном случае следует усмотреть действие эффекта, который был
нами отмечен в главе VIII, другими словами,, влияние медленного изменения
момента: первое из подвергшихся тре- щинообразованию опорных сечений
переходит в состояние замедленного развития трещин. Однако расчетные значения
разрушающего усилия находятся в достаточном соответствии с данными опыта.
Полагаем, что можно придти ;к следующим выводам.
1. Способ, указанный нами для определения
коэффициента приспосабливаемости, очевидно, следует рассматривать только в
качестве приближенного.
Пренебрежем упругими деформациями. Эти деформации имеют
тем большее относительное значение сравнительно с суммарными деформациями,
чем более величина возникшего момента расходится с величиной разрушающего
момента; таким образом, когда величина момента в пролете, например, достигает
только величины М3, степень приближения является менее удовлетворительной,
нежели когда она достигает величины Мх\ этим и объясняется отчасти, почему
для испытаний 15 и 16 фактическая разрушающая нагрузка больше, нежели
расчетная.
2. Невозможно достигнуть точности порядка более
10%, так как зна- чеция коэффициентов поворота в стадии разрушения зависят: с
одной стороны, от распределения армирования и прочности бетона, функцией
которого является процентное соотношение о>; в зависимости от условии
задачи это процентное соотношение получит значения большие или
меньшие, чем значения, вычисленные на основании испытаний
кубиков, что способно изменять коэффициенты предельных поворотов сечений в
шарнирах как «а опоре, так и в пролете, причем направление их нельзя
предвидеть; с другой стороны, оказывает влияние фактическая кривизна в стадии
разрушения, которая зависит от деформации укорочения е в стадии (раз-рушения;
мы убедились в том, что разрушающий момент испытывал слабое изменение в
результате распределения напряжений в зависимости от укорочения е; однако
кривизна в стадии разрушения изменяетсяс больше.
3. Не следует забыйать, что нами использованы значения
коэффициентов для построения закона «момент — кривизна», полученные только на
основании экспериментальных данных.
При пренебрежении упругими деформациями балка в стадии
разрушения принимает многоугольное очертание, как это изображено на XIII.31.
Нагрузки приложены на расстоянии 0,65/ от крайних опор.
Обозначив через а угол поворота в стадии разрушения в
"пролете и через о/ — угол поворота в стадии разрушения ;на опоре (иначе
говоря, угол, образованный между двумя отрезками прямых с одной и с другой
стороны от опоры, причем угол одного из этих отрезков с горизонталью равен и
измеряя углы в абсолютных величинах, находят непосредственно необходимые
соотношения между углами
0,65 /а = —, откуда 0,65а
На XIII.32 имеются две треугольные зоны нарушенной
структуры: одна в пролете, другая на опоре. Длины зон нарушенной структуры
(отрезки, отсеченное посредством линии, изображающей стадию разрушения на
эпюре XIII.32) обозначены на рисунке. Радиусы кривизны приблизительно
одинаковы в пролете и на опоре, потому что
—= — ,а у имеет одно и то же значение (с точностью около
1%) для г У
двух шарниров в фазе пластических деформаций.
Применяя коэффициенты § 9 для треугольных зон нарушенной
структуры, находят для а и — в функции моментов (Л1ь М2 или Л13), возникших в
пролете, следующие значения, за исключением общего множителя —. Можно, как мы
уже это сделали, решить графическим способом уравнение а = 1,54—или же
воспользоваться последним
столбцом табл. XIII. 17. Возникающий в пролете момент,
вычисленный, если принять Мi за единицу, будет равен 0,9 — (0,9 — 0,7)—-— =
0,9 — 0,2 - 0,38 = 0,824. 4 14 + 22,7
Следовательно, будем иметь: момент, возникший в пролете:
0,824-19 900=16400; момент, возникший на опоре: — 24 300; легко находим
результаты того же порядка, что и полученные экспериментальным путем (были
найдены 16480 и 23400 согласно главе X, откуда Рг = 18800 кг (по наблюдениям—17800).
Выше определенные значения углов поворота получены при
допущении, что трещины очень сближены^-^- очень мало|; в случае больших взаимных
расстояний между трещинами будут получены значительно меньшие значения и
менее полное перераспределение.
Исследуем в связи с этим примером соотношение -между
величинами упругих деформаций, которыми мы пренебрегли, и пластических
деформаций.
Угол поворота а при множителе — равен около 48; эта
величина получена посредством интерполяции по выше приведенной таблице для
Af=0f824Afb
Вычислим значения углов поворотов в зоне упругих
деформаций. Пусть А и В—две опоры пролета, ср^ —длина зоны 'пластических деформаций
в пролете (причем момент равняется моменту в стадии трещинообразования в
точках?! и <р2), <pj В — длина зоны пластических деформаций поблизости
от опоры, I — точка нулевого момента между ср2 и ср;
Точки?!, ср2, I И ср| могут быть нанесены на балку при
изменении соответственным образом абсцисс, как это сделано на XIII.32.
Поворот сечения А по отношению к сечению <yi является
тем же, что и в балке с заделанным концом в сечении срь находящейся под
действием реакции в точке Л, которая равняется
Следовательно, повороты сечений в зоне упругих деформаций
нельзя считать малыми по сравнению с поворотами в зоне пластических
деформаций, как мы это предполагаем. Однако в настоящем случае ошибка,
происходящая от пренебрежения поворотами в условиях упругих деформаций,
оказывается незначительной.
Итак, можно усмотреть, что, пренебрегая поворотами в
условиях упругих деформаций, мы пренебрегаем членом (коэффициент поворота
Лср2) порядка 7е значения поворота в условиях пластических деформаций между
точками ср2 и ср2.
Однако внесение поправок, которое может быть сделано, в
незначительной степени повлияет на результаты вычислений.
Возвратимся к расчету, принимая во .внимание
приблизительно поправочный член, обусловленный поворотами в зоне упругих
деформаций.
Нами это уравнение было решено графически (причем значения
а и а' берутся из вышеприведенной таблицы, вновь вводя множитель
—V Находим, что M=0,825Mi, т. е. величине, фактически
совпадаю- п)
щей с определенной выше. Следовательно, подобным образом
оправдано допущенное выше приближение.
|