Сергей Капица. Учёные математики 18-19 веков

Анри Пуанкаре - О КРИВЫХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Мы приводим вступление к мемуару Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1889) и предисловие к его кпиге «Новые методы в небесной механике» (1892).

О КРИВЫХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

ПЕРВЫЙ МЕМУАР

Полная теория функции, определяемых дифференциальными уравнениями, была бы чрезвычайно полезна для большого числа вопросов математики и механики. К сожалению, сразу видно, что в громадном большинстве случаев, с которыми нам приходится иметь дело, эти уравнения не могут быть проинтегрированы с помощью уже известных нам функций, например, с помощью функций, определяемых квадратурами. И если бы мы захотели ограничиться только теми случаями, которые можно изучить при помощи определенных или неопределенных интегралов, то область наших исследований оказалась бы чрезвычайно суженной, и огромное большинство вопросов, встречающихся в приложениях, осталось бы нерешенным.

Необходимо, следовательно, изучать функции, определяемые дифференциальными уравнениями сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям, так же, как это было сделано по отношению к алгебраическим функциям, которые сначала пытались свести к радикала^ а теперь изучают непосредственно, так же, как это было сделано по отношению к интегралам от алгебраических дифференциалов после долгих попыток выразить их в конечном виде.

Таким образом, исследование свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями,– задача, представляющая величайший интерес. Первый шаг на этом пути уже был сделан, когда было изучено поведение функции, определяемой дифференциальным уравнением, в окрестности какой‑либо заданной точки плоскости.  Задача, стоящая теперь перед нами,– это пойти дальше и изучить поведение этой функции на всем протяжении плоскости. В этом исследовании нашей отправной точкой, очевидно, будут служить уже известные результаты, относящиеся к поведению такой функции в некоторой области плоскости.

Полное исследование функций состоит из двух частей:

1) качественной (если можно так выразиться) части, или геометрического изучения той кривой, которая определяется этой функцией;

2) количественной части, или вычисления численных значений функции.

Так, например, для того чтобы исследовать алгебраическое уравнение, мы сначала определяем, с помощью теоремы Штурма, число действительных корней – это качественная часть; затем находим числовые значения этих корней – в этом заключается количественное изучение уравнения. Точно так же, для того чтобы изучить алгебраическую кривую, мы начинаем с построения этой кривой (как принято выражаться в соответствующих математических курсах), т.е. определяем наличие замкнутых ветвей, бесконечных ветвей и т.д.

После этого качественного изучения кривой можно точно определить некоторое число ее точек.

Естественно, что именно в качественной части должно начинаться исследование всякой функции, и поэтому проблема, которая в первую очередь встает перед нами,– это построение кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.

Это качественное исследование, когда оно будет полностью выполнено, будет очень полезно для вычисления численных значений искомой функции и позволит более просто установить сходящийся ряд, изображающий искомую функцию в некоторой части плоскости, и главная трудность заключается именно в отыскании надежного критерия для перехода от одной области, где функция определена одним сходящимся рядом, к другой области, где она выражается с помощью другого ряда.

С одной стороны, это качественное исследование и само по себе представляет первостепенный интерес. К нему могут быть сведены различные, исключительно важные вопросы анализа и механики. Возьмем в качестве примера задачу трех тел. Разве нельзя поставить вопрос, будет ли одно из этих тел всегда оставаться в некотором участке неба гогп оно сможет удалиться в бесконечность? Или вопрос о том, будет ли расстояние между двумя из этих тел неограниченно убывать, или. напротив, это расстояние будет всегда заключено в определенных пределах? Разве нельзя поставить тысячу вопросов такого рода, и все эти вопросы будут разрешены, как только мы сумеем качественно построить траектории этих трёх тел. И если рассматривать большее число тел, то чем иным является вопрос о неизменности элементов планет, как не подлинным вопросом качественной геометрии? Так как показать, что большая ось не имеет вековых изменений, это значит обнаружить, что она постоянно колеблется между некоторыми определенными границами.

Таково обширное поле открытий, простирающееся перед взорами математика. Я не претендовал на то, чтобы пройти его полностью, но я хотел по крайней мере переступить его границы; я ограничился одним весьма частным случаем, тем, который естественно представлялся первым,– именно изучением дифференциальных уравнений первого порядка и первой степени.